OdagiriJの2乗に比例マスター

y = ax² は、一次関数とちがってグラフが曲線になります。そのため「変化の割合」と「変域」でつまずく人が多い単元です。

1. 式の求め方

例題　y は x² に比例し、x = 2 のとき y = 12。式を求めなさい。

1. y = ax² とおきます。
2. 代入：12 = a × 4。

答え　y = 3x²

2. グラフ（放物線）の特徴

1. 原点を通り、y 軸について左右対称。
2. a > 0 なら上に開き、a < 0 なら下に開く。
3. a の絶対値が大きいほど、開き方が細くなる。

つまずきやすい点：点を3つくらいしかとらずに直線的につないでしまうと、放物線になりません。原点の近くはなだらか、外側は急、という形を意識してください。

3. 変化の割合

変化の割合 = (yの増加量) ÷ (xの増加量)。一次関数とちがい、どこをとるかで値が変わります。

例題　y = 2x² で、x が 1 から 3 まで増えるときの変化の割合を求めなさい。

1. x = 1 のとき y = 2、x = 3 のとき y = 18。
2. (18 − 2) ÷ (3 − 1) = 8。

答え　8

なお x が p から q まで変わるときの変化の割合は a(p + q) でも求められます。検算に使えます。

4. 変域（ここが最重要）

例題　y = x² で、−1 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域を求めなさい。

1. 両端を代入すると y = 1 と y = 9。
2. しかし範囲に x = 0 をふくむので、そこで y = 0 という最小値をとります。

答え　0 ≦ y ≦ 9

つまずきやすい点：両端だけ代入して 1 ≦ y ≦ 9 としてしまう間違いが最も多いところです。x の範囲が0をまたぐときは、必ず0を確認してください。

5. 放物線と直線の交点

2つの式を連立させ、ax² = mx + n を二次方程式として解きます。出てきた x をどちらかの式に代入して y を求めます。

6. 図形との融合

放物線上の2点と原点でできる三角形の面積などは、まず座標を文字で表すことから始めます。点 (t, at²) のように置くと式が立てやすくなります。

上のアプリでは、値・グラフ・式・変化の割合・変域・交点・動点を、それぞれ別モードで練習できます。